Zadania do matexu - 1998
1.
Różnica |40.2½ - 57|½ - (40.2½ + 57)½ jest liczbą całkowitą. Oblicz tę liczbę bez korzystania z kalkulatora.
2.
a) Wykaż, że jeżeli x > 0, y > 0 i xy = 1, to x + y ≥ 2
b) Wykaż, że jeżeli a > 0, b > 0, x > 0, y > 0, a + b = 1 i xy = 1, to (ax+b)(ay+b) ≥ 1.
3.
Ile jest wszystkich liczb x należących do zbioru {1,2,3,...,1998} takich, że liczba x2 + 19 jest podzielna przez:
a) 5,
b) 4,
c) 3?
4.
Oblicz pole równoległoboku jeżeli wiesz, że jego przekątne mają długość 13cm i 15cm, a jedna z wysokości ma długość 5cm.
5.
Odcinek łączący środki ramion trapezu równoramiennego ma długość 5cm i dzieli ten trapez na dwie figury, których stosunek pól jest równy 7:13. Oblicz długość wysokości trapezu, jeżeli wiesz, że w ten trapez można wpisać koło.