1.

Wyznacz takie liczby rzeczywiste x, y, dla których wyrażenie

2x² + 4y² - 4xy - 6x + 2004

przyjmuje najmniejszą wartość.

2.

Liczbę 133 podzielono przez liczbę naturalną a i otrzymano iloraz k oraz resztę 23. Wyznacz liczby a, k. Podaj wszystkie rozwiązania.

3.

Dane są takie dodatnie liczby całkowite a i b, że (5 / a) + (3 / b) = 1.

Wykaż, że:
a) co najmniej jedna spośród liczb a i b jest parzysta,
b) obie liczby a i b są parzyste.

4.

Dany jest trójkąt MBC oraz takie punkty A i D, leżace odpowiednio na bokach MB i MC, że na czworokącie ABCD można opisać okrąg. Odcinki AC i BD przecinają się w punkcie E, a półprosta ME jest dwusieczną kąta BMC.
Wykaż, że |MB| = |MC|.

5.

Dany jest taki trapez ABCD o podstawach AB i CD, że |AB| = 2·|CD|. Punkt M jest środkiem ramienia BC. Odcinki DM i AC przecinają się w punkcie E.
Oblicz |AE| / |EC|.

6.

Dany jest graniastosłup czworokątny prawidłowy. Krawędź podstawy ABCD tego graniastosłupa ma długość 4, wysokość graniastosłupa jest równa 3. Punkt G jest środkiem symetrii ściany bocznej ABEF, punkt H jest środkiem symetrii tego graniastosłupa. Oblicz objętość wielościanu o wierzchołkach A, B, C, D, G, H.